數學 百分網手機站

數學因式分解的方法

時間:2018-05-06 數學 我要投稿

數學因式分解的方法

  要想能在綜合性較強的幾何題目中能靈活應用,就必須要熟記啦。因式分解沒有普遍的方法,初中數學教材中主要介紹了提公因式法、運用公式法、分組分解法和十字相乘法。小編為大家整理了數學公式:因式分解的方法,希望能夠對大家有所幫助!

數學因式分解的方法

  一、換元法

  有時在分解因式時,可以選擇多項式中的相同的部分換成另一個未知數,然后進行因式分解,最后再轉換回來,這種方法叫做換元法。注意:換元后勿忘還元.

  【例】在分解(x^2+x+1)(x^2+x+2)-12時,可以令y=x^2+x,則原式=(y+1)(y+2)-12=y^2+3y+2-12=y^2+3y-10=(y+5)(y-2)=(x^2+x+5)(x^2+x-2)=(x^2+x+5)(x+2)(x-1).

  二、運用公式法

  如果把乘法公式反過來,就可以把某些多項式分解因式,這種方法叫運用公式法。

 、 平方差公式:a-b=(a+b)(a-b);

 、 完全平方公式:a±2ab+b=(a±b) ;

  注意:能運用完全平方公式分解因式的多項式必須是三項式,其中有兩項能寫成兩個數(或式)的平方和的形式,另一項是這兩個數(或式)的積的2倍。

 、 立方和公式:a^3+b^3=(a+b)(a-ab+b);

 、 立方差公式:a^3-b^3=(a-b)(a+ab+b);

 、 完全立方公式:a^3±3a^2b+3ab^2±b^3=(a±b)^3.

  【例】a+4ab+4b =(a+2b)

  三、分組分解法

  把一個多項式適當分組后,再進行分解因式的方法叫做分組分解法。用分組分解法時,一定要想想分組后能否繼續完成因式分解,由此選擇合理選擇分組的方法,即分組后,可以直接提公因式或運用公式。

  【例】m+5n-mn-5m=m-5m-mn+5n = (m-5m)+(-mn+5n) =m(m-5)-n(m-5)=(m-5)(m-n).

  四、拆項、補項法

  這種方法指把多項式的某一項拆開或填補上互為相反數的兩項(或幾項),使原式適合于提公因式法、運用公式法或分組分解法進行分解。要注意,必須在與原多項式相等的原則下進行變形。

  【例】bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)=(c+b)(c-a)(a+b).

  五、配方法

  對于某些不能利用公式法的多項式,可以將其配成一個完全平方式,然后再利用平方差公式,就能將其因式分解,這種方法叫配方法。屬于拆項、補項法的一種特殊情況。也要注意必須在與原多項式相等的原則下進行變形。

  【例】x+3x-40=x+3x+2.25-42.25=(x+1.5)-(6.5)=(x+8)(x-5).

  六、十字相乘法

  這種方法有兩種情況:

 、 x+(p+q)x+pq型的式子的因式分解

  這類二次三項式的特點是:二次項的系數是1;常數項是兩個數的積;一次項系數是常數項的兩個因數的和。因此,可以直接將某些二次項的系數是1的二次三項式因式分解:x+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q) .

 、 kx+mx+n型的式子的`因式分解

  如果如果有k=ac,n=bd,且有ad+bc=m時,那么kx+mx+n=(ax+b)(cx+d).

  a b

  ×

  c d

  例如:因為

  1 -3

  ×

  7 2

  且2-21=-19, 所以7x-19x-6=(7x+2)(x-3).

  多項式因式分解的一般步驟>>

 、 如果多項式的各項有公因式,那么先提公因式;

 、 如果各項沒有公因式,那么可嘗試運用公式、十字相乘法來分解;

 、 如果用上述方法不能分解,那么可以嘗試用分組、拆項、補項法來分解;

 、 分解因式,必須進行到每一個多項式因式都不能再分解為止。

  也可以用一句話來概括:“先看有無公因式,再看能否套公式。十字相乘試一試,分組分解要合適!

  【例題】

  1.分解因式(1+y)^2-2x^2(1+y^2)+x^4(1-y)^2.

  解:原式=(1+y)^2+2(1+y)x^2(1-y)+x^4(1-y)^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2)

  =[(1+y)+x^2(1-y)]^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2)

  =[(1+y)+x^2(1-y)]^2-(2x)^2

  =[(1+y)+x^2(1-y)+2x][(1+y)+x^2(1-y)-2x]

  =(x^2-x^2y+2x+y+1)(x^2-x^2y-2x+y+1)

  =[(x+1)^2-y(x^2-1)][(x-1)^2-y(x^2-1)]

  =(x+1)(x+1-xy+y)(x-1)(x-1-xy-y).

  2.求證:對于任何實數x,y,下式的值都不會為33:x^5+3x^4y-5x^3y^2-15x^2y^3+4xy^4+12y^5.

  解:原式=(x^5+3x^4y)-(5x^3y^2+15x^2y^3)+(4xy^4+12y^5)

  =x^4(x+3y)-5x^2y^2(x+3y)+4y^4(x+3y)

  =(x+3y)(x^4-5x^2y^2+4y^4)

  =(x+3y)(x^2-4y^2)(x^2-y^2)

  =(x+3y)(x+y)(x-y)(x+2y)(x-2y).

  當y=0時,原式=x^5不等于33;當y不等于0時,x+3y,x+y,x-y,x+2y,x-2y互不相同,而33不能分成四個以上不同因數的積,所以原命題成立。

  3.△ABC的三邊a、b、c有如下關系式:-c^2+a^2+2ab-2bc=0,求證:這個三角形是等腰三角形。

  解:此題實質上是對關系式的等號左邊的多項式進行因式分解。證明:∵-c^2+a^2+2ab-2bc=0,∴(a+c)(a-c)+2b(a-c)=0.∴(a-c)(a+2b+c)=0.∵a、b、c是△ABC的三條邊,∴a+2b+c>0.∴a-c=0,即a=c,△ABC為等腰三角形。

  4.把-12x^2n×y^n+18x^(n+2)y^(n+1)-6x^n×y^(n-1)分解因式。

  解:-12x^2n×y^n+18x^(n+2)y^(n+1)-6x^n×y^(n-1)=-6x^n×y^(n-1)(2x^n×y-3x^2y^2+1).

  七、應用因式定理

  對于多項式f(x)=0,如果f(a)=0,那么f(x)必含有因式x-a.

  【例】f(x)=x^2+5x+6,f(-2)=0,則可確定x+2是x^2+5x+6的一個因式。(事實上,x^2+5x+6=(x+2)(x+3).)

  八、提公因式法

  各項都含有的公共的因式叫做這個多項式各項的公因式。如果一個多項式的各項有公因式,可以把這個公因式提出來,從而將多項式化成兩個因式乘積的形式,這種分解因式的方法叫做提公因式法。

  具體方法:當各項系數都是整數時,公因式的系數應取各項系數的最大公約數;字母取各項的相同的字母,而且各字母的指數取次數最低的;取相同的多項式,多項式的次數取最低的。如果多項式的第一項是負的,一般要提出“-”號,使括號內的第一項的系數成為正數。提出“-”號時,多項式的各項都要變號。

  【例】①-am+bm+cm=-m(a-b-c)②a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(x-y)(a-b)

  九、求根法

  令多項式f(x)=0,求出其根為x1,x2,x3,……xn,則該多項式可分解為f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3)……(x-xn) .

  【例】在分解2x^4+7x^3-2x^2-13x+6時,令2x^4 +7x^3-2x^2-13x+6=0,則通過綜合除法可知,該方程的根為0.5 ,-3,-2,1.所以2x^4+7x^3-2x^2-13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1).

  令y=f(x),做出函數y=f(x)的圖象,找到函數圖像與X軸的交點x1 ,x2 ,x3 ,…xn ,則多項式可因式分解為f(x)= f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3)… (x-xn).與方法九相比,能避開解方程的繁瑣,但是不夠準確。

  【例】在分解x^3 +2x^2 -5x-6時,可以令y=x^3 +2x^2 -5x-6.作出其圖像,與x軸交點為-3,-1,2 ,則x^3 +2x^2-5x-6=(x+1)(x+3)(x-2).

  十、雙十字相乘法

  雙十字相乘法屬于因式分解的一類,類似于十字相乘法。用一道例題來說明如何使用。

  【例】分解因式:x^2+5xy+6y^2+8x+18y+12.

  解:這是一個二次六項式,可考慮使用雙十字相乘法進行因式分解。

  x 2y 2

 、 ② ③

  x 3y 6

  ∴原式=(x+2y+2)(x+3y+6).

  雙十字相乘法其步驟為>>

 、 先用十字相乘法分解2次項,如十字相乘圖①中X^2+5xy+6y^2=(x+2y)(x+3y);

 、 先依一個字母(如y)的一次系數分數常數項。如十字相乘圖②中6y^2+18y+12=(2y+2)(3y+6);

 、 再按另一個字母(如x)的一次系數進行檢驗,如十字相乘圖③,這一步不能省,否則容易出錯。

  十一、主元法

  先選定一個字母為主元,然后把各項按這個字母次數從高到低排列,再進行因式分解。

  十二、特殊值法

  將2或10代入x,求出數p,將數p分解質因數,將質因數適當的組合,并將組合后的每一個因數寫成2或10的和與差的形式,將2或10還原成x,即得因式分解式。

  【例】在分解x^3+9x^2+23x+15時,令x=2,則x^3 +9x^2 +23x+15=8+36+46+15=105,將105分解成3個質因數的積,即105=3×5×7 .

  注意到多項式中最高項的系數為1,而3、5、7分別為x+1,x+3,x+5,在x=2時的值,則x^3+9x^2+23x+15可能等于(x+1)(x+3)(x+5),驗證后的確如此。

  十三、待定系數法

  首先判斷出分解因式的形式,然后設出相應整式的字母系數,求出字母系數,從而把多項式因式分解。

  【例】在分解x^4-x^3-5x^2-6x-4時,由分析可知:這個多項式沒有一次因式,因而只能分解為兩個二次因式。

  于是設x^4-x^3-5x^2-6x-4=(x^2+ax+b)(x^2+cx+d)=x^4+(a+c)x^3+(ac+b+d)x^2+(ad+bc)x+bd,由此可得a+c=-1,ac+b+d=-5,ad+bc=-6,bd=-4.解得a=1,b=1,c=-2,d=-4.則x^4-x^3-5x^2-6x-4=(x^2+x+1)(x^2-2x-4).

  通過以上數學公式:因式分解的方法的學習后,想必同學們的學習會更進一步,如想了解更多請繼續關注數學網。

【數學因式分解的方法】相關文章:

1.因式分解的數學方法

2.因式分解的方法數學知識點歸納

3.數學因式分解知識點

4.數學因式分解同步練習

5.數學因式分解練習題

6.初三數學因式分解問答題

7.因式分解數學題匯總

8.初二數學因式分解知識點

球探体育网球比分直播 北京pk10官网开奖 河南11选5走势图 十一选五规则 甘肃11选5前三走势图 045期3d试机号 成都期货配资 双色球最准十家专家 安徽快三基本走势图 盈操盘 广东11选五开奖结果一定牛